chapter 1 solution
CHAPTER 1 INTEGERS
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EXERCISE 1 A SOLUTION
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EXERCISE 1 A SOLUTION
Recall All natural numbers, 0 and negatives of counting numbers are called integers. 1, 2, 3, 4, 5, ., etc., are positive integers and-1,-2,-3, -4,-5,..., etc., are negative integers. Zero is an integer which is neither positive nor negative. On a number line, the integer occurring on the right is greater than that on the left and the integer occurring on the left is smaller than the one in the right. 4> 2, 1> 0, 0>-1, -1<0 and-3 <-2.
• There is no greatest or smallest integer. > Zero is greater than every negative integer and less than every positive integer.
• Every positive integer is greater than every negative integer. If a and b are two integers such that a> b, then -a<-b. For example, 3 > 2 and -3 <-2. If a and b are two integers such that o< b, then -a >-b. For example, 2 <5 and -2>-5. - The absolute value of an integer a denoted by Ja (a vertical bar on each side of the integer) is its numerical value regardless of its sign. So, 17| = 7, |-7| =7 and 10| = 0. Try these 1. Write the difference between the smallest positive integer and the greatest negative integer. 2. Arrange the following integers in descending order: -5, 3,-1, 2, 4 and -3.
सभी प्राकृतिक संख्याओं को याद करें, 0 और संख्याओं की गणना को पूर्णांक कहा जाता है। 1, 2, 3, 4, 5,।, आदि, सकारात्मक पूर्णांक हैं और -1, -2, -3, -4, -5, ..., आदि, नकारात्मक पूर्णांक हैं। शून्य एक पूर्णांक है जो न तो सकारात्मक है और न ही नकारात्मक। एक संख्या रेखा पर, दाईं ओर होने वाला पूर्णांक बाईं ओर से अधिक होता है और बाईं ओर पूर्णांक घटित होता है, जो दाएं में से एक से छोटा होता है। 4> 2, 1> 0, 0> -1, -1 <0 और -3 <-2।
• कोई सबसे बड़ा या सबसे छोटा पूर्णांक नहीं है। > शून्य हर नकारात्मक पूर्णांक से अधिक है और प्रत्येक सकारात्मक पूर्णांक से कम है।
• प्रत्येक सकारात्मक पूर्णांक प्रत्येक ऋणात्मक पूर्णांक से अधिक होता है। यदि a और b दो पूर्णांक हैं जैसे कि a> b, तो -a <-b। उदाहरण के लिए, 3> 2 और -3 <-2। यदि a और b दो पूर्णांक हैं जैसे कि o <b, तो -a> -b। उदाहरण के लिए, 2 <5 और -2> -5। - पूर्णांक मान का पूर्णांक Ja द्वारा निरूपित (पूर्णांक के प्रत्येक तरफ एक ऊर्ध्वाधर बार) इसका सांकेतिक मूल्य होता है, भले ही इसके चिह्न की परवाह किए बिना। तो, 17 | = 7, | -7 | = 7 और 10 | = 0. इनका प्रयास करें 1. सबसे छोटे धनात्मक पूर्णांक और सबसे बड़े ऋणात्मक पूर्णांक के बीच का अंतर लिखें। 2. निम्नलिखित पूर्णांकों को अवरोही क्रम में व्यवस्थित करें: -5, 3, -1, 2, 4 और -3।
PROPERTIES OF ADDITION OF INTEGERS :-
Closure property
The sum of two integers is always an integer, i.e., integers are closed under addition. If a and b are any two integers,
then à + b is always an integer
For example: 1. 3 +7 = 10 is an integer.
2. -7 + (-11) = -18 is an integer.
3. 9 + (-16) = -7 is an integer.
4. 21 + (-8) = 13 is an integer.
Commutative property
Two integers can be added in any order, i.e., addition is commutative for integers. If a and b are any two integers, then a + b = b + a
For example: 1. (-3) + 8 = 5 and 8 + (-3) = 5 * (-3) + 8 = 8 + (-3)
2. (-7) + (-12) = -19 and (-12) + (-7) = -19 * (-7) + (-12) = (-12) + (-7)
Associative property
Three or more integers can be grouped in any order to find their sum, i.e., addition is associative for integers. If a, b and c are any three integers,
then. (a + b) + c = a + (b+ c)
For example:
1. [(-4)+(-5)] + 3 = (-9) + 3 =-6, and (4) + [(-5) + 3] = -4 + (-2) = -6
2. [(-5) + 13] + (-7) = 8 + (-7) = I, and (-5) + [13 + (-7)I = -5 + 6 = 1
Existence of additive identity
The sum of any integer and 0 is the integer itself. In other words, 0 is the additive identity for integers. If a is any integer, then
a + 0 = 0 + a = a
For example:
1. 8+0=0+8 = 8
2. (-11) + 0 =0+(-11)=-11
Existence of additive inverse
For any integer a, there exists its opposite -a that their sum is zero, ie.,
a +(-a) = (-a) + a = 0
Integer a and -a are called opposites or negatives or additive inverse of each other
For example:
1. 6+ (-6) = (-6) + 6 0 So, the additive inverse of 6 is -6 and the additive inverse of -6. is 6.
2. (-13) + 13 = 13 + -13) 0 So, the additive inverse of 13 is-13 and the additive inverse of -13 is 13.
बंद करने वाली संपत्ति का अनुपात के गुण दो पूर्णांकों का योग हमेशा एक पूर्णांक होता है, यानी पूर्णांक इसके अलावा बंद होते हैं। यदि a और b कोई दो पूर्णांक हैं,
तो à + b हमेशा पूर्णांक होता है
उदाहरण के लिए: 1. 3 +7 = 10 पूर्णांक है।
3. -7 + (-11) = -18 एक पूर्णांक है।
2. 9 + (-16) = -7 पूर्णांक है।
4. 21 + (-8) = 13 पूर्णांक है।
कम्यूटेटिव प्रॉपर्टी दो पूर्णांकों को किसी भी क्रम में जोड़ा जा सकता है, यानी, पूर्णांक के लिए अतिरिक्त है। यदि a और b कोई दो पूर्णांक हैं,
तो a + b = b + a
उदाहरण के लिए:
1. (-3) + 8 = 5 और 8 + (-3) = 5 * (-3) + 8 = 8 + ( -3)
2. (-7) + (-12) = -19 और (-12) + (-7) = -19 * (-7) + (-12) = (-12) + (-7)
साहचर्य संपत्ति तीन या अधिक पूर्णांकों को उनकी राशि को खोजने के लिए किसी भी क्रम में वर्गीकृत किया जा सकता है, अर्थात, पूर्णांक के लिए सहयोगी है। यदि ए, बी और सी कोई तीन पूर्णांक हैं,
तो। (a + b) + c = a + (b + c)
उदाहरण के लिए:
1. [(-4) + (- 5)] + 3 = (-9) + 3 = -6, और (4) + [(-5) + 3] = -4 + (-2) = -6
2. [(-5) + 13] + (-7) = 8 + (-7) = I, और (-5) + [13 + (-7) I = -5 + 6 = 1
अस्तित्व योगात्मक पहचान किसी भी पूर्णांक और 0 का योग पूर्णांक ही होता है। दूसरे शब्दों में, 0 पूर्णांकों के लिए योगात्मक पहचान है। यदि कोई पूर्णांक है, तो उदाहरण के लिए:
a + 0 = 0 + a = a
1. 8 + 0 = 0 + 8 = 8
(-11) + 0 = 0 + (- 11) = - 11
अस्तित्व additive व्युत्क्रम किसी भी पूर्णांक के लिए, इसका विपरीत-ए मौजूद है कि उनकी राशि शून्य है, अर्थात,
a + (- a) = (-a) + a = 0
पूर्णांक a -a को विपरीत या ऋणात्मक या परिवर्ती कहा जाता है एक दूसरे के
उदाहरण के लिए: 1. 6+ (-6) = (-6) + 6 0 तो, 6 का योगात्मक व्युत्क्रम -6 और योजक -6 का व्युत्क्रम है। है ६. २. (-१३) + १३ = १३ + -१३) ० इसलिए, १३ -१३ का योगात्मक व्युत्क्रम है और -१३ का योगात्मक व्युत्क्रम १३ है।
PROPERTIES OF SUBTRACTION OF INTEGERS
Closure property of subtraction The difference of two integers is always an integer, i.e., integers are closed under subtraction. If a and b are any two integers,
then. a -b is always an integer
FOR EXAMPLE 1. 3-8=3+ (-8) = -5 is an integer.
2. 5-(-3) = 5 +3 = 8 is an integer.
3. (-3) 6 = (-3) + (-6) =-9 is an integer
4.-7-(-6) = -7 + 6 =-1 is an integer.
Commutative property Subtraction is not commutative for integers. If a and b are any two integers,
then
For example: 1. 4- 9 =4 + (-9) =- -5,
and 9-4 =9+(-4)= 5
4- 9 # 9-4
2. (-5) - 3= (-5) +(-3)= -8,
and 3-(-5) = 3 +5 = 8
(-5) - 3 # 3-(-5)
3. (-7) -(-4) =(-7) +4=-3,
and (-4) -(-7) =-4+7=3
(-7)-(-4) #(-4)-(-7) -
Associative property Subtraction is not associative for integers. If a, b and c are any three integers, then (a-b)-ca-(b-c)
For example: [3-(-4)] - (-5) = [3+ (4)] +(5) = 7+5 = 12, and 3 - [(-4) – (-5)) = 3-[(-4) +5] = 3- 1 =2 : [3 - (-4)] - (-5) + 3 [(-4) –(-5)]
Subtraction property of zero The result of subtracting zero from an integer is the integer itself. If a is an integer, then If a, b, c are integers and a > b, then
